مروری بر مفاهیم احتمال به زبان ساده

برتراند راسل (Bertrand Russell) می‌گوید “احتمال مهم‌ترین مفهوم در علم مدرن است، بخصوص که هیچ‌کس کوچک‌ترین ایده‌ای ندارد که چه معنی می‌دهد.”

بسیاری از ما در دوران مدرسه و دانشگاه با مفهوم احتمال از طریق آزمایش‌های فکری (Thought Experiment) مانند پرتاب سکه و یا پرتاب طاس آشنا شده‌ایم. گرچه این مثال‌های ساده به درک ما از احتمال کمک کرده است، برداشت‌های ناقصی هم از مفهوم احتمال ایجاد و تعمیم این مفهوم را به مسائل دنیای واقعی دشوار کرده است.

یکی دیگر از دلایلی که درک مفهوم احتمال را دشوار کرده است، به این برمی‌گردد که در ریاضیات نیز تفسیرهای مختلفی از مفهوم احتمال وجود دارد. من در این مقاله سعی دارم این تفسیرها را توضیح دهم و دلالت‌های آن‌ها را از منظر کاربردی بیان کنم.

تفسیرها از مفهوم احتمال

در ریاضیات سه تفسیر اصلی از احتمال وجود دارد:

رویکرد کلاسیک به احتمال (Classical A priori Theory)

این رویکرد خواستگاه اولیه احتمال است. در رویکرد کلاسیک، احتمال برابر است با نسبت تعداد پیشامدهای مطلوب (Favorable Outcomes) یک رخداد (Event) به تعداد کل فضای نمونه‌ای (Sample Space). فضای نمونه‌ای مجموعه‌ای از همه پیشامدهای ممکن است. برای مثال، در پرتاب سکه پیشامدهای ممکن شیر یا خط است. فضای نمونه‌ای دارای دو عضو است:

{شیر، خط} = S

رخداد زیرمجموعه‌ای از فضای نمونه‌ای است که شامل یک پیشامد یا مجموعه‌ای از پیشامدهاست. در پرتاب یکبار سکه، رخداد می‌تواند پیشامد خط باشد. احتمال این رخداد برابر $1/2$ است.

اگر مثال طاس را در نظر بگیرید، پیشامدهای آن اعداد یک تا شش هستند که فضای نمونه‌ای را تشکیل می‌دهند. یک رخداد می‌تواند آمدن عدد زوج در پرتاب یکبار طاس باشد که شامل پیشامدهای دو، چهار و شش است. احتمال این رخداد $3/6$ است.

رویکرد کلاسیک به احتمال، یک رویکرد پیشینی (A priori) است چراکه احتمال را پیش از وقوع رخداد محاسبه می‌کند. همچنین فرض این است که همه پیشامدهای فضای نمونه‌ای دارای احتمال یکسان هستند.

چنین رویکردی به احتمال، تنها در زمانی قابل‌استفاده است که فرض برابری احتمال پیشامدها برقرار باشد. در بسیاری از مسائل دنیای واقعی چنین فرضی برقرار نیست. این رویکرد بیشتر برای آموزش اولیه مفاهیم احتمال و حل مسائل انتزاعی مانند پرتاب سکه و طاس کاربرد دارد.

رویکرد مبتنی بر فراوانی وقوع (Frequentist Theory)

این رویکرد مبتنی بر آزمایش و جمع‌آوری داده‌های واقعی است. از منظر رویکرد فراوانی وقوع، احتمال یک رخداد برابر است با فراوانی نسبی مشاهده‌شده آن رخداد در تکرار زیاد آزمایش‌ها. این یک رویکرد پسینی (A posteriori) به احتمال است چراکه پس از وقوع رخداد محاسبه می‌گردد.

برای نمونه اگر در یک خط تولید از ۱۰۰ قطعه تولیدشده ۲ قطعه معیوب باشد، احتمال آنکه یک قطعه در این خط تولید معیوب باشد، ۲ درصد است. درواقع پدیده را این‌گونه مدل می‌کنیم که این خط تولید مانند جعبه سیاهی است که هر از چندگاهی قطعه معیوب تولید می‌کند. تولید قطعه معیوب تحت یک فرآیند تصادفی (Stochastic Process) است و منطق این فرآیند در طول زمان ثابت باقی می‌ماند. داخل این جعبه سیاه برای ما نامعلوم است، ولی خروجی‌های آن را می‌توانیم ببینیم. این خروجی‌ها می‌توانند به‌صورت تصادفی سالم یا معیوب باشند.

از این منظر احتمال کمک چندانی به پیش‌بینی رخداد بعدی نمی‌کند. در رویکرد فراوانی وقوع، احتمال در زنجیره‌ای از رخدادهاست که تفسیر می‌شود. برای مثال اگر شما بدانید یک سکه منصف است کمک چندانی به پیش‌بینی برآمد بعدی سکه نمی‌کند ولی می‌توانید بگویید اگر سکه را ۱۰۰۰ بار پرتاب کنید با تقریب خوبی تعداد شیرها و خط‌ها باهم برابر هستند. یا اگر بدانید زلزله هشت ریشتری یک‌بار در هر هزار سال رخ می‌دهد، به این معنی نخواهد بود که فردا رخ نخواهد داد.

ازآنجاکه این رویکرد مبتنی بر اندازه‌گیری و جمع‌آوری نمونه تصادفی از رخدادهاست، در مطالعات علمی بسیار کاربرد دارد. محدودیت چنین رویکردی این است که مبتنی بر تکرار زیاد رخداد است و استفاده از آن برای رخدادهای کمیاب (Rare Events) با محدودیت مواجه است. ضمن آن‌که دلالت مفهوم فرآیند تصادفی در مسائل دنیای واقعی بسیار دشوار است. این‌که واقعاً به چه پدیده‌ای تصادفی گفته می‌شود، بحث مفصل و فلسفی است که از چارچوب این نوشته خارج است.

رویکرد قضاوتی (Subjectivist Theory)

این تفسیر از احتمال چنین بیان می‌کند که احتمال به قضاوت مربوط است و به ذات رخداد ربطی ندارد. دو رویکرد قبلی به‌صورت ضمنی فرض می‌کردند احتمال جزء ذات پدیده است. برای مثال اگر من بپرسم یک سکه منصف را پرتاب کردم، احتمال پیشامد خط در این رخداد چقدر است، پاسخ خواهید داد این احتمال ۵۰ درصد است. پرسش این است این عدد چه چیزی را اندازه‌گیری می‌کند؟ آیا ۵۰ درصد مربوط به ذات آن سکه است یا چیز دیگری را اندازه‌گیری می‌کند؟

در تفسیر قضاوتی، احتمال به ذات سکه ربطی ندارد بلکه میزان دانش ما را در هرلحظه از زمان نسبت به آن پدیده کمّی می‌کند. برای من که سکه را پرتاب کردم و نتیجه پرتاب را می‌دانم، احتمال صفر یا یک است ولی برای شما که نتیجه پرتاب را نمی‌دانید، احتمال آمدن خط ۵۰ درصد است.

شاید در جواب مطرح کنید که این احتمالِ ۵۰ درصد به ذات سکه مربوط است، چون برای یک سکه منصف شانس شیر یا خط باهم برابر است. چنین استدلالی مبتنی بر یک سری فرضیات درباره سکه است؛ آگاهی و دانشی که به مسئله اضافه می‌کنید. شما حتی در واقعیت سکه را بارها پرتاب نکردید تا ببینید آیا سکه واقعاً منصف است.

اصولاً احتمال وقتی معنی می‌یابد که با عدم‌ قطعیت (Uncertainty) مواجه باشیم و ابزاری است که به ما کمک می‌کند ندانستنِ ما را کمّی کند. برای مثال کِلر (Keller) در مقاله بسیار جالبی بحث می‌کند که حتی پرتاب سکه یک مسئله کاملاً معین (Deterministic) و با علم فیزیک نیوتنی قابل‌حل است. او نشان می‌دهد که چگونه با دانستن سرعت خطی و زاویه‌ای پرتاب، می‌توان برآمد سکه را مشخص کرد و هیچ عدم قطعیتی در این مسئله وجود ندارد. گرچه شاید در بسیاری مواقع برای ما به‌صرفه نباشد که با چنین روشی برآمد سکه را تعیین کنیم.

من در مقاله “عدم قطعیت در تصمیم‌گیری واقعاً چه معنا می‌دهد؟” درباره مفهوم عدم قطعیت و جنبه‌های آن بیشتر بحث کرده‌ام.

در رویکرد قضاوتی، دو نوع اطلاعات وجود دارد: اطلاعات پیشینی که از ذهن فرد می‌آید و ربطی به شواهد مبتنی بر داده ندارد و اطلاعات پسینی که از تکرار آزمایش یا رخداد به دست می‌آید. قضیه بیز (Bayes Theorem) به ما کمک می‌کند که از هر دو اطلاعات استفاده کنیم تا احتمال رخداد را به‌روز کنیم. از منظر کاربردی قاعده بیز اجازه می‌دهد دیدگاه اولیه خود را نسبت به پدیده با دریافت اطلاعات جدید اصلاح کنیم. به همین خاطر به چنین تفسیری از احتمال، رویکرد بیزی (Bayesian Approach) هم گفته می‌شود.

نقدی که به رویکرد بیزی مطرح می‌شود آن است که هیچ چارچوبی برای به دست آوردن احتمال پیشینی ارائه نمی‌کند. منتقدان بیان می‌کنند این تفسیر احتمال را از یک مفهومی که بر اساس واقعیت به دست می‌آید به یک مفهومی که به باورها و یا احساسات فرد بستگی دارد، مربوط می‌کند. گرچه برای رخدادهایی که خیلی تکرارپذیر نیستند، چارچوب خوبی به دست می‌دهد.

در بسیاری از تصمیم‌های دنیای کسب‌وکار که دانش ما کامل نیست و با انواع عدم قطعیت‌ روبرو هستیم و درعین‌حال باید تصمیم‌گیری هم صورت گیرد، رویکرد بیزی متداول‌تر شده است.

اصول احتمال

صرف‌نظر از اینکه چه تفسیری را از احتمال بپذیریم، در تئوری احتمال (Probability Theory) سه اصل زیر به‌عنوان اصول بنیادی احتمال مطرح می‌شود:

اصل اول، احتمال یک رخداد مانند A یک عدد حقیقی غیر منفی است.

$P(A) >= 0$

اصل دوم، احتمال فضای نمونه‌ای برابر ۱ است.

$P(S) = 1$

اصل سوم، به ازای هر رخداد مانند A و B که با یکدیگر ناسازگار (Mutually Exclusive) هستند، احتمال رخ دادن A یا B برابر است با:

$P(A\cup B)= P(A)+ P(B)$

دو رخداد A و B را ناسازگار گویند هرگاه هر دو باهم رخ ندهند به‌عبارت‌دیگر اشتراک آن‌ها تهی باشد. برای مثال در پرتاب طاس، رخداد برآمد زوج با رخداد برآمد فرد، ناسازگار است. ضمناً منظور از رخ دادن A یا B این است که حداقل یکی از این دو رخ دهد.

از این اصول می‌توان استفاده کرد تا پرسش‌های مختلف در حوزه احتمال را پاسخ داد. برای نمونه اگر پرسش شود در پرتاب یک طاس، احتمال آنکه برآمد کوچک‌تر از چهار باشد یا ضریب چهار باشد، چقدر است، خواهیم داشت:

{۱, ۲, ۳} = برآمد کوچک‌تر از چهار = A

{۴} = برآمد ضریب چهار = B

$P(A\cup B)= P(A)+ P(B) = 3/6 + 1/6 = 4/6$

از اصول بالا، نتایج مهم دیگری نیز حاصل می‌شود که ازنظر ریاضی قابل‌اثبات هستند.

اول، اگر یک رخداد زیرمجموعه رخداد دیگری باشد، احتمال اولی از دومی کوچک‌تر مساوی است:

$A \subseteq B \Rightarrow P(A) <= P(B)$

دوم، احتمال متمم رخداد A (قسمتی از فضای نمونه است که در A نباشد – $A^{c}$ )، برابر است با تفاضل احتمال رخداد A از ۱:

$P(A^{c}) = 1 - P(A)$

سوم، احتمال یک رخداد عددی بین صفر و یک است، صفر به معنی آنکه هیچ‌گاه رخ نمی‌دهد و یک به معنی آنکه رخداد آن حتمی است.

$0 <= P(A) <= 1$

چهارم، در اصل سوم اگر دو رخداد دارای اشتراک باشند، برای آنکه بخش مشترک دو بار محاسبه نشود، باید احتمال اشتراک را کم کرد:

$P(A\cup B)= P(A)+ P(B) - P(A\cap B)$

جمع‌بندی

به‌طور خلاصه، احتمال عددی است بین صفر و یک که به ما کمک می‌کند عدم قطعیت در پدیده‌ها را به زبان ریاضی بیان کنیم. احتمال را می‌توان از سه منظر تفسیر کرد:

یک مفهوم فیزیکی که به رفتار سامانه‌ها مربوط است و ربطی به آنچه ما چه فکر می‌کنیم، ندارد. برای مثال احتمال برآمد شیر و خط برای یک سکه منصف به خاطر ویژگی‌های فیزیکی آن برابر است.

یک مفهوم معرفتی که بر اساس اندازه‌گیری و جمع‌آوری داده است. برای مثال، بر اساس نمونه‌گیری تصادفی از خط تولید، احتمال معیوب بودن هر قطعه‌ای که از خط تولید بیرون می‌آید، ۲ درصد است.

مفهومی که نمایانگر میزان عدم قطعیت فرد است و به باورهای او ربط دارد. برای مثال، فردی می‌گوید من با احتمال ۹۰ درصد تصور می‌کنم سرمایه‌گذاری‌ام در بازار سهام امسال سودآور خواهد شد.

منابع:

Chernoff, E., & Sriraman, B. (2014). “Probabilistic Thinking”. AMC, 10, 12

Hájek, A. (2019). “Interpretations of Probability”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy, https://plato.stanford.edu/entries/probability-interpret/#SubPro

Keller, J.B. (1986). “The Probability of Heads”, The American Mathematical Monthly, 93 (3), 191-197

آنالیکا